概率论
我们需要描述一组数据时候，本质上需要描述每一个点。但是如果我们可以用分布去表示这些数据，就只需要均值或者方差分布参数，大大节省了存储空间。
离散型随机分布
伯努利分布：一次实验，结果只有两种结果。\(p(k)=p^k(1-p)^{(1-k)}, k\in\{0, 1\}\)，期望：\(p\)，方差：\(p(1-p)\)
二项分布：n次伯努利实验正好得到k次成功的概率，单次成功的概率为p。当n=1的时候退化到伯努利分布。当p=0.5的时候，整体上和正态分布图形类似。\(p(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}\)，期望：\(np\)，方差：\(np(1-p)\)
几何分布：进行n次伯努利实验，在获取成功前需要进行多少次实验。分布图形是越往前概率越大，\(p(k)=(1-p)^{k-1}p\), 期望\(\frac{1}{p}\), 方差是\(\frac{(1-p)}{p^k}\)
泊松分布：单位时间内独立事件发生次数的概率分布，它是二项分布n很大而p很小时的极限。泊松分布可以把单位时间切成n次，每次成功的概率为p，那么单位时间内出现k次的概率就是二项分布，所以泊松分布是二项分布的一种极限形式。它的分布图形也和二项分布类似，特别是n很大而p很小时。\(p(k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\), 期望和方差都是\(\lambda\),其中k是发生的次数，\(\lambda\)是发生的平均次数，当\(\lambda>=20\)时，泊松分布趋向于正态分布。
指数分布：对应于泊松分布，指数分布是指两次独立事件发生的时间间隔的概率分布。 \(p(k)=\lambda e^{-\lambda k}\)，其中\(\lambda\)是指单位时间内独立事件发生的次数。期望=\(\frac{1}{\lambda}\)，方差=\(\frac{1}{\lambda^2}\)
负二项分布：在一连串伯努利实验中，恰好在第r+k次实验出现第r次成功的概率。换句话说，是指出现第r次成功时所需要的总实验次数的概率分布。 \(p(k,r,p)=C_{r+k-1}^{r-1}p^{r}(1-p)^{k}\)，期望\(E(k)=\frac{k(1-p)}{p}\), 方差\(D(k)=\frac{k(1-p)}{p^2}\)
多项分布：二项分布的扩展。
连续型随机分布
均匀分布：\(p(x)=\frac{1}{b-a}\)，期望\(\frac{b+a}{2}\)， 方差\(\frac{(b-a)^2}{12}\)
正态分布：\(p(x)=N(\mu, \sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)，期望\(\mu\)，方差\(\sigma\)。
指数分布：可以扩展到连续随机变量，仍然代表两次独立事件发生的事件间隔（实数）。公式和上面一致。
最大熵
那么以上的概率分布是如何来的呢？最大熵理论提供了一种解释的方法，概率分布是满足一定约束条件下的最大熵概率分布。对于一个随机变量来说，如果没有任何约束，我们大概率倾向于该随机变量符合均匀分布。对应到现实中，如果没有任何前提条件，我们认为事件发生的概率是相同的。比如骰子，我们会默认每一面的概率是1/6。最大熵概率分布满足一下条件：
\[math
max_pH(p)=-\int_yp(y)logp(y)dy, st. \int_yp(y)=1, p(y)>=0, \int_yp(y)*f_i(y)dy=a_i
\] 其中ai是预先定好的约束条件，比如均值、方差。 使用拉格朗日乘子得到：
\[math L(p,\mu,\lambda)=\int_yp(y)logp(y)dy - \mu_0p(y) + \mu_1(\int_yp(y)-1) + \sum_i\lambda_i(\int_yp(y)*f_i(y)dy-a_i) \] 其中\(\mu,\lambda\)都为正数，解为： \[math p^* = min_p max_{\mu,\lambda}L=max_{\mu,\lambda}min_pL \] 假设y值固定在某个确定的值，对p求偏导： \[math \frac{\partial L}{\partial p} = logp + \frac{1}{ln2}-\mu_0 + \mu_1 + \sum_i\lambda_if_i(y) = 0 \] 等式两边乘以ln2，对logp进行换底：
\[math lnp + 1 - \mu_0 + \mu_1 + \sum_i\lambda_if_i(y) = 0 \] 得到解p*： \[math p^*(y) = e^{ - 1 + \mu_0 - \mu_1 - \sum_i\lambda_if_i(y)} = c*e^{-\sum_i\lambda_if_i(y)} \]
伯努利分布推导
约束条件： \[math
f(y) = y\rightarrow\int_yp(y)*y=\mu, y\in\{0,1\}
\] 其中\(\mu\)代表事件成功的概率，也是伯努利分布的期望值，得到\(c*e^{-\lambda}=\mu\)
同时：\(p(0) + p(1) = 1 \rightarrow c + ce^{-\lambda}=1\)
由以上两式得到：\(c=1-\mu, \lambda=-ln\frac{\mu}{1-\mu}\)
综合以上：\(p(y)=(1-\mu)*(\frac{\mu}{1-\mu})^y=(1-\mu)^{1-y}\mu^y\), 我们就得到了伯努利分布的公式，伯努利分布是在约束期望值下的最大熵概率分布。
正态分布推导
约束条件：均值和方差
其他分布的约束条件
其他概念
概率分布函数，条件概率，联合概率， 独立分布，条件独立，熵， 交 叉熵、条件熵、KL散度